Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
¡sí, funciona!
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
a2 + b2 = c2
Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
1. Longitud de la circunferencia Los segmentos que unen el centro con los puntos de la circunferencia se llaman radios. El segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia se llama diámetro. Equivale a dos radios.
Si tenemos una moneda y ponemos pintura en su borde, al desplazarla en un papel hasta dar la vuelta completa, dejará una marca como la del dibujo. La longitud de esa marca es tres veces la longitud del diámetro y un poco más. Si la circunferencia de la moneda mide 44 cm y el diámetro 14,012738 cm, podemos hallar que 44 : 14,012738 = 3,14. Por tanto, el diámetro cabe tres veces en la circunferencia y sobra un poco más que es 0,14. El número 3,14 se llama p (pi). Longitud de la circunferencia = 3,14 x longitud de su diámetro. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r = 2 p r. Ejemplo: Si el diámetro de una circunferencia es 16 cm, su longitud será: 3,14 x 16 = 50,24 cm.
2.- Área del círculo La fórmula para calcular el área del círculo = p x r2. r2 significa que multiplicamos el radio por el radio. Ejemplo: Si un círculo tiene 8 m de radio su área será p x 82 = 3,14 x 8 x 8 = 200,96 m2. Realiza estos ejercicios sobre papel y contesta pulsando una contestación en cm2:
4.- Perímetro del polígono regular El perímetro es la suma de todos sus lados. En el dibujo, el lado del pentágono mide 7 dm. El perímetro será 7 +7 + 7 + 7 + 7 = 35 dm; perímetro = 7 x 5 = 35 dm. Perímetro = un lado x número de lados.
5.- Área de los polígonos regulares Este exágono regular está dividido en 6 triángulos. El triángulo ABO tiene de altura el segmento a. Este segmento se llama apotema del polígono. El área de cada triángulo valdrá el producto del lado por la apotema, dividido por 2; l x a / 2. Como tenemos 6 triángulos, el área del exágono es 6 x l x a / 2. El área del polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Congruencia de triángulos
En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Criterios de congruencia de triángulos
Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Semejanza de Triángulos:
El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no
necesariamente de igual tamaño.
Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.
Criterios de semejanza de triángulos.
1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.
3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.
Para que dos triángulos sean semejantes es suficiente con que se verifique una de las siguientes condiciones:
1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:
2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:
3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:
Definiciones Paralelogramo: cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos Rombo: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales Rectángulo: paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales Cuadrado: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus 4 ángulos iguales
Propiedades de los Paralelogramos 1ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son paralelos. 2da. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. 3ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales 4ta. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios 5ta. Propiedad.- La diagonal de un paralelogramo lo divide en 2 triángulos congruentes 6ta.Propiedad.- En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente 7ta. Propiedad.- Las diagonales del rectángulo son iguales. 8ta. Propiedad.- Las diagonales del rombo son mediatrices entre sí y bisectrices de sus ángulos. 9ta. Propiedad.- Las diagonales de un cuadrado son iguales, mediatrices entre sí y bisectrices de sus ángulos. Forman 4 ángulos congruentes
Propiedades de los triángulos
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º
3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90o. Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90o.
Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o? Solución: 90o - 43o = 47o Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o. Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o. Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o? Solución: 180o - 143o = 37o
aijson los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).
bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
m, n m > n, ó m = n, ó m < n.
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
Solución de un sistema
Es cada conjunto de valores que verifica todas las ecuaciones
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)
(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)
(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)
(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)
(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)
(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)
(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.
(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3.
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Primero quitamos los paréntesis.
Reducimos términos semejantes.
Ahora quitamos los corchetes.
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
Nuevamente reducimos términos semejantes
Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.
Advertencia
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5
Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un ejemplo:
Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
Despejamos x pasando 3 a dividir.
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).
Veamos un problema característico:
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x edad de Pedro
y edad de Álvaro
z edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):
y = x + 3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):
z = x – 7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro: x
edad de Álvaro: x +3
edad de María: x – 7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro: x = 14 años
edad de Álvaro: x + 3 = 17 años
edad de María: x – 7 = 7 años
.
m > n, ó m = n, ó m < n.
